Medellín, 23 agosto de 2004

No.14


 

”...Somos hermanos, explicó el más viejo, y recibimos como herencia esos 35 camellos. Según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad; a mi hermano Hamed Namir una tercera parte; y a Harim, el más joven, sólo la novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo efectuar la partición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento nos ha ofrecido un resultado aceptable. Si la mitad de 35 es 17 y medio, si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas ¿cómo proceder a tal partición?...”   Este es el tipo de desafios matemáticos que se puede encontrar enEl hombre que calculabade Malba Tahan(1), un magnífico libro de aventuras en el cual se narran las increíbles habilidades de Beremís, un matemático y geometra árabe.


EL HOMBRE QUE CALCULABA

Las Matemáticas se presentan muchas veces como un conocimiento serio e incompatible con el entretenimiento. Sin embargo, esta exquisita obra es la mejor refutación de esta visión. El hombre que calculaba es una narración sencilla y amable que introduce problemas de matemáticas elementales en un contexto lleno de vivacidad y ternura.

El libro cuenta la historia de Beremís Samir, un joven persa del siglo XIV, hábil calculista que aplica con singular habilidad y sentido común las matemáticas. La narración está realizada por un notable de Bagdad, llamado Malba Tahan, que encuentra a Beremís en el camino y rápidamente se convierte en su compañero de viaje, amigo y admirador.

En el libro se cuenta cómo Beremís Samir resuelve problemas curiosos que surgen en sus andanzas, y se entremezclan singulares razonamientos matemáticos con discursos elocuentes sobre el amor y el sentido de la vida, uniendo así en las matemáticas la utilidad y la grandeza moral.

El famoso problema de las perlas del rajá

“Un rajá dejó a sus hijas cierto número de perlas y ordenó que el reparto se hiciese del siguiente modo:  a la hija mayor correspondería una perla mas un séptimo de las que quedasen; la segunda tomaría dos perlas y un séptimo de las restantes; la tercera recibiría tres perlas y un séptimo de las que quedasen.  Y así sucesivamente las restantes hijas.

Las hijas más jóvenes presentaron su queja a un juez, alegando que por ese sistema complicado ellas serían fatalmente perjudicadas.

El juez – dice la tradición – que era hábil en la resolución de problemas, respondió rápidamente que las demandantes estaban equivocadas, y que la división propuesta por el rajá era justa y perfecta.

El juez tenía razón.  Hecha la división cada una de las hermanas recibió el mismo número de perlas”

Cuál es el número de perlas? Cuántas las hijas del rajá?  Solución

Como condición para casarse con la mujer que amaba, Telassim, su padre desafió a Beremís a resolver el siguiente problema:

“Tengo cinco hermosas esclavas, que compré hace pocos meses a un príncipe mongol.  De esas cinco encantadoras jóvenes, dos tienen los ojos negros y las tres restantes azules.  Las dos esclavas de ojos negros “dicen siempre la verdad”;  las esclavas de ojos azules, por el contrario, son mentirosas, es decir, “nunca dicen la verdad”.  Dentro de algunos minutos esas cinco jóvenes serán traidas a esta sala; todas tendrán el rostro cubierto por un espeso velo oscuro.  Tendrás que descubrir e indicar, sin el menor error, cuáles son las jovencitas de ojos negros y cuáles las de ojos azules.  Te será permitido interrogar a tres de las cinco esclavas, no pudiendo hacer más de una pregunta a cada una.  Con la ayuda de las tres respuestas obtenidas, el problema deberá ser resuelto, justificando la solución con un razonamiento matemático.  Además las preguntas deben ser de tal naturaleza, que sólo puedan ser respondidas con exactitud por las esclavas.”

El calculista se aproximó a la primera esclava (que se hallaba en el extremo de la fila, a la derecha) y le preguntó:

-          De qué color son tus ojos?

La esclava respondió en dialecto chino, totalmente desconocido para Beremís, el cual protestó, pues no comprendió una sola palabra de la respuesta dada. 

El padre de Telassim ordenó que las respuestas fueran dadas en árabe y de manera clara y sencilla.

Le quedaban apenas dos preguntas, pues la primera era considerada enteramente perdida para él.

Se aproximó donde la segunda esclava y le preguntó:

-          Cuál fue la respuesta que tu compañera acaba de dar?

-          Las palabras de ella fueron: “Mis ojos son azules”

La tercera esclava (que se hallaba en el centro de la fila) fue interrogada a continuación en la siguiente forma:

-          De qué color son los ojos de esas dos jóvenes que acabo de interrogar?

-          La primera tiene los ojos negros y la segunda, azules.

Beremís, después de meditar algunos segundos, se aproximó al trono y dijo:

-          La primera esclava (la de la derecha) tiene los ojos negros, la segunda azules, la tercera negros y las dos últimas azules.

Levantándose los velos, las jóvenes mostratron sonrientes los rostros descubiertos.  Se oyó un ¡ah¡ de asombro en el salón.  El inteligente Beremís había dicho, con admirable precisión, el color de los ojos de todas ellas. 

Y el calculista concluyó:

-          Puedo afirmar, que en este problema no aparecen fórmulas, ecuaciones o símbolos algebraicos, la solución, para ser exacta y perfecta, debe ser obtenida por medio de un razonamiento puramente matemático.

Cómo lo resolvió?  Solución


CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Los cuatro cuatros

Empleando solamente cuatro cuatros, ligados por signos matemáticos, se puede formar un número cualquiera.

0 = 44 – 44

6 =  4 + 4  + 4

          4

1=  44

      44

7 =  44  - 4

        4 

2 =  4  + 4 .  

       4     4

8 = 4 + 4 + 4 – 4

3 =  4 + 4 + 4 .

             4

9 = 4 + 4 +  4 .

                   4

4 = 4 +  4 – 4 .

                4

10 =  44 – 4 .

             4

5 =  4 X 4 + 4 .

             4

 

Cuadrado mágico 

4

5

16

9

14

11

2

7

1

8

13

12

15

10

3

6

Figura 1.  Cuadrado mágico de orden 4, constante 34.

Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado de forma tal que la suma de los números de cada una de sus columnas, filas y diagonales sea la misma constante mágica. Si la condición no se cumple para las diagonales entonces se llama cuadrado latino. Si la constante mágica se obtiene también sumando de otras maneras varios números del cuadrado (por ejemplo 4 + 5 + 14 + 11 = 34, ó 4 + 9 + 15 + 6 = 34), como en la figura 1, se dice que es un cuadrado diabólico.  El número de filas, y en consecuencia, el número de columnas que tiene un cuadrado mágico se llama orden del mismo.  No existen cuadrados mágicos de orden 2.

Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n2, siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo. Los chinos y los indios los conocían antes del comienzo de la era cristiana.

Aunque todos los matemáticos han reconocido siempre la falta de aplicaciones de los cuadrados mágicos, algunos se han ocupado de ellos con mucha atención: el mérito y gracia del juego está en su insospechada dificultad.

Cómo hacerlos?

Números perfectos

Son los que presentan la propiedad de ser igual a la suma de sus divisores, excluyéndose, claro está, el propio número. Por ejemplo:

Divisores de 496

1

2

4

8

16

31

62

124

   248

496

Divisores de 28

1

2

4

7

 14

28

    DESAFÍOS MATEMÁTICOS    

Desde épocas muy remotas, y entre todos los pueblos que cultivaban las ciencias, es probable que se haya propuesto y resuelto  los anteriores y otros tipos de problemas o “curiosidades matemáticas”, es decir, problemas que despiertan el interés, ya sea por su enunciado de concepción entretenida, ya por lo ingenioso de las soluciones, o porque la respuesta verdadera no es, generalmente la primera que se nos ocurre.

Eminentes matemáticos se han ocupado de problemas de esta índole que, además de servir de entretenimiento, ejercitan la inteligencia del lector y, en consecuencia, lo preparan para resolver, con mayor facilidad, otros problemas que posiblemente puedan presentarse en su vida diaria.

INDISA On line te invita a utilizar tu habilidad matemática, o mejor, tu pericia para resolver estos "desafíos matemáticos"

El problema del sastre

Un sastre tiene una pieza de paño de 12 metros de longitud, y todos los días corta 2 m.  Al cabo de cuántos días habrá cortado completamente la pieza? 

El caracol viajero

Un caracol – por asuntos particulares – desea trasladarse de una huerta a otra, rodeando el muro de separación que tiene 5 metros de altura; trepa verticalmente por el muro recorriendo cada día 3 metros, y desciende (Caprichos del caracol!) también verticalmente cada noche, 2 metros, de modo que cada día avanza, efectivamente, 1 metro de su ruta.  En cuántos días llegará a la cima del muro?

Las “rebajas” de los almacenes

Un comerciante, a fin de atraer clientes, anuncia conceder en sus ventas un 20% de descuento; pero, poco escrupuloso, modifica previamente los precios aumentándolos en un 20%.  Qué descuento hace, en realidad, sobre los precios primitivos?


SOLUCIONES

  • El famoso problema de las perlas del rajá:

    La solución el muy sencilla:  Eran 36 perlas y debían repartirse entre 6 personas.

    La primera sacó una perla y además, un séptimo de 35, o sea 5; es decir, sacó 6 y dejó 30.  La segunda sacó dos  y además un séptimo de 28, o sea 4;  es decir, sacó 6 y dejó 24.  Y así sucesivamente, la tercera sacó 6 y dejó 18, la cuarta sacó 6 y dejó 12, la quinta sacó 6 y dejó 6 para la sexta.

    Se llega a la solución sin artificios ni sutilezas de raciocinio:

    Para resolver algebraicamente el problema llamamos X al número de perlas a repartir, e igualando la expresión del número de perlas que le toca a la primera con la de la segunda, obtenemos la ecuación:   

    1 + 1/7 (X – 1) = 2 + 1/7 {X – [1 + 1/7 (X – 1) + 2]}

     que da como resultado X = 36.  El número de hijas el 36/6 = 6  Arriba

  • "Al formular la primera pregunta: “Cuál es el color de tus ojos?”, yo sabía que la respuesta sería fatalmente la siguiente: “Mis ojos son negros”.  En efecto, si ella tenía los ojos negros, diría la verdad, es decir, afirmaría: “Mis ojos son negros”.  Si tenía los ojos azules, mentiría, y, al responder, diría también:  “Mis ojos son negros”.  Luego yo afirmo que la respuesta de la primera esclava era única y bien determinada: "Mis ojos son negros". Hecha, por lo tanto la primera pregunta, esperé la respuesta que previamente conocía.  La esclava, respondiendo en dialecto desconocido, me auxilió de gran manera.  Realmente.  Alegando no haber entendido el idioma chino, interrogué a la segunda esclava:  “Cuál fue la respuesta dada por tu compañera?  La segunda me dijo:  “Las palabras de ella fueron: Mis ojos son azules”.  Esa respuesta vino a demostrar que la segunda mentía, pues esa no podía haber sido, de ninguna manera la respuesta de la primera joven.  Ahora bien:  Si la segunda mentía era porque tenía los ojos azules.

    Aprovechando la tercera y última pregunta, interpelé a la esclava que estaba en el centro de la fila: “De que color son los ojos de las dos jóvenes que acabo de interrogar?”  Esta fue la respuesta que obtuve: “La primera tiene los ojos negros y la segunda tiene los ojos azules” .  Con respecto a la segunda no tenía duda, qué conclusión pude sacar de la tercera respuesta?.  Es muy simple, la tercera esclava no mentía.  Si la tercera no mentía sus ojos eran negros, los de la segunda azules, la primera negros, por exclusión fue fácil saber que las dos restantes tenían los ojos azules."  Arriba

  • El problema del sastre:  En 5 días ( no en 6, como suelen contestar algunos distraídos).

  • El caracol viajero: En 3 días(y no en 6).

  • Las “rebajas” de los almacenes: El 4%.

(1) Malba Tahan es un pseudónimo del verdadero autor de la obra : Julio César de Mello e Souza (1895-1974), un profesor brasileño que divulgó las matemáticas en obras deliciosas.    

Presupuesto General de la Nación 2005, documento del gobierno nacional.
En la página www.dinero.com.co, en la sección Gobierno, se encuentra disponible este documento, en el cual el gobierno nacional presenta a consideración del Congreso el proyecto de ley por el cual se decreta el presupuesto general de la Nación para 2005. El extenso documento elabora sobre las necesidades de inversión en el país y su impacto en los próximos años. El monto del presupuesto asciende a $93 billones, de los cuales $91,5 billones corresponden al presupuesto básico y $1,5 billones a un presupuesto complementario.

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